電磁刺激是一種重要的神經調控技術，它通過調節神經元電活動，影響皮層興奮性，達到調控神經系統的目的。反隨機共振現象是生物神經系統對外界信號的一種響應機制，在神經系統信號處理中發揮著重要作用。本文構建了電突觸連接的小世界神經網絡，通過對神經網絡動力學特征進行分析，研究了電磁刺激下小世界神經網絡的反隨機共振行為。結果表明：電磁刺激下Levy通道噪聲能引起小世界神經網絡反隨機共振現象的發生，噪聲的特征指數和位置參數對神經網絡反隨機共振現象的強度和持續時間有明顯影響；小世界網絡隨機加邊概率和最近鄰節點個數越大，越有利于反隨機共振；通過調節電磁刺激參數可以實現對神經網絡反隨機共振的雙重調控。本文研究結果為探究電磁神經刺激技術的調控機制及神經系統的信號處理機制提供了一定的理論支撐。
引用本文： 楊惠蘭, 田樹香, 朱海軍, 徐桂芝. 電磁刺激下小世界神經網絡中的反隨機共振. 生物醫學工程學雜志, 2023, 40(5): 859-866. doi: 10.7507/1001-5515.202209021 復制
0 引言
大腦神經系統由神經元和神經膠質細胞構成，具有復雜的形態結構和網絡連接，是調控生物各系統、器官的中樞，參與學習、記憶等高級神經活動。Hagmann團隊[1-2]通過擴散光譜成像和核磁共振成像繪制出人類全腦結構連接網絡，并表明生物神經系統具有明顯的小世界屬性，即較小的平均最短路徑和較大的聚類系數。復雜網絡的不同結構特性對神經網絡相位同步有很大的影響，具有高聚類系數的網絡可以更好地達到相位同步[3]。小世界特性有助于維持神經網絡穩定的網絡振蕩[4]。在中等耦合強度連接的小世界神經網絡中，平均路徑長度越短，信號檢測效果越好[5]。隨著突觸學習率的增大，小世界神經網絡的尖峰同步性逐漸被破壞，同時間歇同步轉換現象越來越不明顯[6]。
神經系統的共振行為是神經系統進行信息編碼的重要機制，在神經元信號處理方面發揮著重要作用[7-11]。近年來，神經系統中一種特殊的共振現象逐漸受到人們的關注，即反隨機共振[12]。與傳統的隨機共振現象相反，在某些特定條件下，存在最佳噪聲水平使神經系統的放電活動減少或停止，形成放電頻率與噪聲強度的U形函數，這種現象就是所謂的反隨機共振。在魷魚軸突放電和小腦浦肯野細胞活性的實驗研究中均觀察到了反隨機共振這種現象[13-14]。Uzuntarla等[15-16]研究了神經元和神經網絡中的反隨機共振現象，并分析了反隨機共振發生的動力學原因，發現雙穩態是反隨機共振行為的必要條件。通道噪聲是神經系統中極其重要的內部噪聲，它產生于離子通道的打開和關閉，化學突觸釋放神經遞質，以及其他神經元隨機突觸的輸入電流。在雙穩態神經網絡中，隨著通道噪聲的增強，非同步切換和同步行為增強[17]。通道噪聲還能夠影響神經網絡達到穩態同步水平所需的時間[18]。通道噪聲可以對神經元放電模式和尖峰頻率產生調節作用，合適強度的高斯通道噪聲可以誘導無標度神經網絡中反隨機共振的發生[19]。Levy噪聲是一種具有隨機跳躍和重尾特性的非高斯噪聲，可以很好地描述復雜的生物和神經環境[20]，能夠引起單個神經元和神經網絡中反隨機共振現象的發生[21-22]。當神經系統通道噪聲為非高斯Levy噪聲時，小世界神經網絡中的反隨機共振受到的通道噪聲的調制作用仍需進一步研究。
電磁神經調控技術可以調節皮質神經興奮性，影響神經放電節律，調控神經元編碼過程，有效增強工作記憶及神經系統的信息處理與信號交流，對多種神經性疾病具有顯著的治療效果[23-25]。隨著全球神經性疾病的日益增多，研究電磁刺激下的神經系統動力學特性變得尤為重要。研究電磁作用對神經系統反隨機共振的影響有助于我們理解電磁神經調控技術的作用機制。
本文通過構建Newman-Watts（NW）小世界神經網絡，研究電磁刺激下通道噪聲誘導的神經網絡反隨機共振行為。首先研究了電磁刺激下非高斯Levy通道噪聲存在時神經網絡的放電動力學特性；其次分析了電磁刺激下噪聲參數、小世界網絡特性以及耦合強度對神經網絡反隨機共振的影響；最后研究了電磁刺激參數對通道噪聲誘導的反隨機共振的影響。
1 方法和模型
1.1 網絡節點方程
本文以Hodgkin-Huxley神經元[26]作為神經網絡的節點動力學模型，網絡方程表示如下：
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其中，Cm是膜電容；Vi表示網絡中第 i 個神經元的膜電位；Iext表示外加電流。m 和 h 分別為鈉通道的激活和失活變量，n 為鉀通道的激活變量。VNa = 50 mV、VK = –77 mV和VL = –54.4 mV分別表示鈉通道、鉀通道和漏通道的反轉電位；GNa = 120 mS/cm2、GK = 36 mS/cm2、GL = 0.3 mS/cm2分別表示相應離子電流的最大電導。α 和 β 表示門控變量函數。基于Fox提出的通道噪聲模型，添加 
為通道噪聲[27]：
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其中，
和 
分別表示指定膜面積上的鈉離子和鉀離子的離子總數，NNa = ρNaS，NK = ρKS，ρNa和ρK分別表示單位膜面積上的離子密度[28-29]。S為膜面積（單位為μm2），膜面積決定通道噪聲水平，膜面積越大表示通道噪聲強度越小。η(t)表示非高斯Levy噪聲。
Levy噪聲由如下方程表示：
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其中，α為特征指數，β為偏斜度參數，c為分散系數，μ為位置參數。本文中除特殊說明外，Levy噪聲參數設置為：α = 1.8，β = 0，c = 1，μ = 0。
根據Nernst-Planck方程，無磁場作用時，離子通道電流由以下方程求解：
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其中，JNa是單位膜面積上的鈉離子電流密度，CNa是鈉離子濃度，?CNa是相應的濃度梯度向量。E是膜內外電勢差所造成的電場強度，Rg是空氣常數，μNa表示鈉離子遷移率，T為溫度，F是法拉利常數。另外，對于鉀離子和氯離子濃度，CK、CL、?CK和?CL分別表示鉀離子和氯離子相應的濃度梯度向量。
存在外加磁場的情況下，式(13)右邊第一項保持不變，第二項發生改變
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其中Bext = Bsin(2πft)為外加磁場，B為磁場強度，f為磁場頻率。
又有離子電流密度和離子移動速度之間的關系為：
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其中，z是離子所帶電子數目。故將式(14)和式(15)代入式(13)可得磁場作用下的離子電流密度：
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因此，電磁作用下的離子通道電流密度相當于在原離子電流密度INa上添加變化項INa = μNa JNa Bext。同理，可以求出其他離子電流密度的變化量：IK = μK JK Bext和IL = μL JL Bext。各離子遷移率 μ 的取值參考文獻[30-33]：μNa = 3 m2/(V·s)，μK = 3.8 m2/(V·s)，μL = 1 m2/(V·s)。
故，電磁作用下帶有離子通道噪聲的神經網絡方程為：
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1.2 網絡模型
本文基于NW小世界網絡理論[34-35]，構建N = 200的神經網絡，每個神經元的最近鄰節點個數k，左右兩邊各 k/2 個節點，隨機化加邊概率P。本文中除特別說明，小世界網絡參數設置為：k = 2，P = 0.01。
表示神經網絡中第 i 個節點神經元受到的突觸電流：
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其中gsyn表示神經元之間電突觸耦合強度，(aij)N × N表示電突觸連接矩陣。
1.3 分析指標
本文利用神經網絡的平均放電速率來評價神經網絡的反隨機共振行為，在去除暫態時間（1 s）之后的長度為τ = 500 ms的時間間隔內計算神經網絡的平均放電速率r（單位為Hz）：
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為了量化神經網絡內部耦合作用對神經元輸出的影響，本文計算了神經網絡中所有神經元突觸輸入和神經元輸出之間的互信息平均值：
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其中H(Sout)是輸出的熵，H(Sout|Sin)是給定輸入條件下輸出的條件熵。
2 結果與分析
不同外加電流刺激下神經網絡的平均放電速率如圖1所示，外加電流很小時，不能引起神經網絡反隨機共振的發生；外加電流較大時，神經網絡的反隨機共振現象并不明顯；外加電流合適時，神經網絡中發生了明顯的反隨機共振現象。Iext = 6.8 μA/cm2時，膜面積S = 100～1 000 μm2，神經網絡的平均放電速率接近于零，表明神經網絡在中等噪聲強度下放電活動受到嚴重抑制，神經網絡平均放電速率隨著膜面積的增大先減小后增大，表明發生了反隨機共振現象。因此我們將神經元的外加電流設置為6.8 μA/cm2，以保證神經網絡處于雙穩態。
圖1
不同外加電流下神經網絡的平均放電速率
Figure1.
Mean firing rate of the neuronal network under different external currents
2.1 Levy通道噪聲下神經元放電動力學特性
神經網絡中第i個節點神經元在噪聲和電流激勵下的放電活動如圖2所示：當電流較小時（見圖2a），神經元處于靜息狀態；外加電流增大（見圖2b），神經元放電頻率增大，尖峰態與靜息態并存；當外加電流足夠大時（見圖2c），神經元電活動轉變為尖峰放電。因此，選取I = 6.8 μA/cm2作為外加電流，當離子通道膜面積發生變化時，神經元放電頻率先變小后變大，出現反隨機共振現象。如圖2d-f所示：當膜面積較小（S = 1 μm2，噪聲強度較大）時，神經元放電頻率較高；當膜面積中等（S = 100 μm2，噪聲強度適中）時，神經元放電頻率減小；當膜面積較大（S = 10 000 μm2，噪聲強度較小）時，神經元又恢復到高頻率放電狀態。圖2的結果表明，在合適的電流激勵下，神經元在非高斯Levy通道噪聲的作用下出現了反隨機共振現象。適當強度的非高斯Levy通道噪聲可以抑制節點神經元的放電行為，降低節點神經元的興奮性。
圖2
神經網絡中第i個節點神經元在通道噪聲和外加電流下的放電行為
a.
a.
不同膜面積下神經網絡整體放電時空圖如圖3所示。由圖3可知，S = 1 μm2時，通道噪聲較大，神經網絡放電規則，放電頻率較高；S = 100 μm2時，通道噪聲強度適中，神經網絡放電頻率明顯變低；S = 10 000 μm2時，通道噪聲強度較小，此時神經網絡放電頻率較高。這些結果表明：隨著噪聲強度的增大，神經網絡的放電由密集變稀疏，再由稀疏變密集，即神經網絡出現反隨機共振現象。在合適強度的非高斯Levy通道噪聲作用下，神經網絡的放電活動受到抑制，神經網絡整體的興奮性降低。
圖3
不同膜面積下神經網絡放電時空圖
2.2 Levy噪聲參數對反隨機共振的影響
Levy噪聲參數對小世界神經網絡反隨機共振的影響如圖4所示。噪聲特征指數α越大，神經網絡反隨機共振越明顯；隨著噪聲的位置參數μ的變大，反隨機共振會逐漸消失；而偏斜度參數β的變化對神經網絡反隨機共振的影響并不明顯。
圖4
不同噪聲參數下神經網絡平均放電速率
a. 特征指數；b. 位置參數；c. 偏斜度參數
Figure4. Mean firing rate of neuronal network with different values of Levy noise parametersa. characteristic index; b. position parameter; c. skewness parameter
2.3 網絡結構和耦合強度對反隨機共振的影響
圖5為不同最近鄰節點個數下神經網絡平均放電速率和耦合強度之間的關系（S = 100 μm2），當曲線凸起寬度越寬、高度越高，說明對反隨機共振的抑制作用越明顯。由圖5可以看出，k越大神經網絡平均放電速率隨耦合強度增大的變化越不明顯。結果表明k越大越有利于小世界神經網絡反隨機共振，耦合強度對神經網絡反隨機共振的調節具有明顯影響。當k足夠大時，耦合強度對神經電活動的影響幾乎可以忽略不計，而其他情況下，耦合強度在調節神經網絡電活動中起到了關鍵作用。較大或較小的神經元連接強度都可以使神經網絡保持在相對穩定的放電狀態，只有當神經網絡連接強度適中時，神經網絡反隨機共振現象會變弱。
圖5
不同最近鄰節點個數的神經網絡平均放電速率
Figure5.
Mean firing rate of neuronal network with different nearest neighbors
不同加邊概率的神經網絡平均放電速率隨耦合強度的變化曲線如圖6所示。圖6的結果表明：在合適的通道噪聲強度下（S = 100 μm2），隨機加邊概率越大，曲線凸起寬度越小，高度越小，神經網絡放電活動受到的抑制作用越大。隨機加邊概率越大越有利于神經網絡的反隨機共振行為，突觸連接對神經網絡反隨機共振的調節具有最佳耦合強度。當隨機加邊概率足夠大時，耦合強度對神經電活動的影響幾乎可以忽略不計。隨機加邊概率越小，神經網絡放電速率隨噪聲強度變化的U形曲線越不明顯，表明神經網絡反隨機共振受到抑制，此時，較大或較小的神經元連接強度都可以使神經網絡保持在相對穩定的放電狀態，只有當神經網絡連接強度適中時，神經網絡反隨機共振現象會變弱。
圖6
不同隨機加邊概率下神經網絡平均放電速率
Figure6.
Mean firing rate of neuronal network with different network randomness
2.4 電磁刺激參數對反隨機共振的影響
電磁刺激參數對Levy通道噪聲誘導的神經網絡反隨機共振的影響如圖7所示。神經網絡在不同強度的電磁刺激下，平均放電速率表現出不同的變化：當電磁刺激強度較小時（見圖7a），神經網絡的平均放電速率隨著膜面積的增大先變小后變大，呈現出明顯的藍色極小值帶，表明神經網絡發生反隨機共振，并且隨著電磁刺激頻率的變大，隨機反共振的持續時間和強度變化不大；隨著電磁刺激強度的增加（見圖7b），藍色極小值帶明顯比圖7a中的極小值帶增寬，表明電磁刺激強度的增大可以使反隨機共振持續時間變長，并且隨著電磁刺激頻率的變大，反隨機共振的持續時間變寬；當電磁刺激強度繼續增大時（見圖7c），神經網絡的平均放電速率隨著膜面積的變大而減小，神經網絡不再出現反隨機共振。這些結果表明，電磁刺激的強度對神經網絡反隨機共振的調節起到決定性作用，強度決定了反隨機共振現象是否出現，頻率則調節反隨機共振的強弱。
圖7
不同電磁刺激強度下，神經網絡平均放電速率隨膜面積和電磁刺激頻率變化的等高線
a.
a.
3 討論與結論
神經調控技術是神經科學與生物醫學工程交叉結合的產物，對復雜的人類大腦系統具有顯著的調控作用，有望幫助人類治療神經退行性疾病。基于復雜網絡和計算神經科學產生的復雜神經網絡，是理論研究神經調控技術的重要方法[36]，旨在幫助人們解釋生物現象發生的原因和神經調控的作用機制。
本文以HH神經元動力學模型和小世界復雜網絡理論為基礎，構建了電磁刺激和通道噪聲作用下的小世界神經網絡，通過對神經網絡動力學特征進行分析，探討了電磁刺激和通道噪聲對反隨機共振行為的影響。Levy通道噪聲能誘導小世界神經網絡出現反隨機共振現象，結合之前的研究，我們可以得知反隨機共振是神經系統中一個普遍存在的現象，它既可以發生在無標度網絡中，也可以發生在小世界網絡中，既可以由外加噪聲誘導，也可以由通道噪聲誘導[17-20]。相較于之前的研究[37-40]，將Levy噪聲作為通道噪聲添加到神經網絡模型中，能夠更加全面地研究生物系統噪聲對神經網絡反隨機共振的影響。本文的結果表明，Levy噪聲特征指數越大，小世界神經網絡的隨機共振現象越明顯；位置參數越小，越有利于反隨機共振；而偏斜度參數對神經網絡反隨機共振無明顯影響。這些結論與之前的研究結果基本一致[19]，說明Levy噪聲作為通道噪聲同樣具有調節神經電活動的作用，且調節作用與噪聲自身的參數密切相關。同時我們還研究了小世界網絡結構特性對反隨機共振的影響，結果表明隨機加邊概率越大，最近鄰節點個數越大，越有利于神經網絡反隨機共振。目前，關于反隨機共振的研究大部分集中在網絡參數和電磁感應參數上[41-42]，本文最后分析了外加電磁刺激對神經網絡反隨機共振的影響，表明電磁刺激可以增強或者抑制神經網絡反隨機共振行為。鑒于反隨機共振現象普遍存在，如何利用反隨機共振現象達到趨利避害的目的值得我們進行深入研究。本研究拓寬了以往對神經網絡反隨機共振的研究范圍，豐富了神經動力科學中共振現象的理論研究，可為電磁神經調控技術的應用提供理論指導。
重要聲明
利益沖突聲明：本文全體作者均聲明不存在利益沖突。
作者貢獻聲明：楊惠蘭負責設計實驗、實施研究、分析數據和撰寫論文；田樹香負責部分研究以及分析數據；徐桂芝和朱海軍負責論文指導與修改。
0 引言
大腦神經系統由神經元和神經膠質細胞構成，具有復雜的形態結構和網絡連接，是調控生物各系統、器官的中樞，參與學習、記憶等高級神經活動。Hagmann團隊[1-2]通過擴散光譜成像和核磁共振成像繪制出人類全腦結構連接網絡，并表明生物神經系統具有明顯的小世界屬性，即較小的平均最短路徑和較大的聚類系數。復雜網絡的不同結構特性對神經網絡相位同步有很大的影響，具有高聚類系數的網絡可以更好地達到相位同步[3]。小世界特性有助于維持神經網絡穩定的網絡振蕩[4]。在中等耦合強度連接的小世界神經網絡中，平均路徑長度越短，信號檢測效果越好[5]。隨著突觸學習率的增大，小世界神經網絡的尖峰同步性逐漸被破壞，同時間歇同步轉換現象越來越不明顯[6]。
神經系統的共振行為是神經系統進行信息編碼的重要機制，在神經元信號處理方面發揮著重要作用[7-11]。近年來，神經系統中一種特殊的共振現象逐漸受到人們的關注，即反隨機共振[12]。與傳統的隨機共振現象相反，在某些特定條件下，存在最佳噪聲水平使神經系統的放電活動減少或停止，形成放電頻率與噪聲強度的U形函數，這種現象就是所謂的反隨機共振。在魷魚軸突放電和小腦浦肯野細胞活性的實驗研究中均觀察到了反隨機共振這種現象[13-14]。Uzuntarla等[15-16]研究了神經元和神經網絡中的反隨機共振現象，并分析了反隨機共振發生的動力學原因，發現雙穩態是反隨機共振行為的必要條件。通道噪聲是神經系統中極其重要的內部噪聲，它產生于離子通道的打開和關閉，化學突觸釋放神經遞質，以及其他神經元隨機突觸的輸入電流。在雙穩態神經網絡中，隨著通道噪聲的增強，非同步切換和同步行為增強[17]。通道噪聲還能夠影響神經網絡達到穩態同步水平所需的時間[18]。通道噪聲可以對神經元放電模式和尖峰頻率產生調節作用，合適強度的高斯通道噪聲可以誘導無標度神經網絡中反隨機共振的發生[19]。Levy噪聲是一種具有隨機跳躍和重尾特性的非高斯噪聲，可以很好地描述復雜的生物和神經環境[20]，能夠引起單個神經元和神經網絡中反隨機共振現象的發生[21-22]。當神經系統通道噪聲為非高斯Levy噪聲時，小世界神經網絡中的反隨機共振受到的通道噪聲的調制作用仍需進一步研究。
電磁神經調控技術可以調節皮質神經興奮性，影響神經放電節律，調控神經元編碼過程，有效增強工作記憶及神經系統的信息處理與信號交流，對多種神經性疾病具有顯著的治療效果[23-25]。隨著全球神經性疾病的日益增多，研究電磁刺激下的神經系統動力學特性變得尤為重要。研究電磁作用對神經系統反隨機共振的影響有助于我們理解電磁神經調控技術的作用機制。
本文通過構建Newman-Watts（NW）小世界神經網絡，研究電磁刺激下通道噪聲誘導的神經網絡反隨機共振行為。首先研究了電磁刺激下非高斯Levy通道噪聲存在時神經網絡的放電動力學特性；其次分析了電磁刺激下噪聲參數、小世界網絡特性以及耦合強度對神經網絡反隨機共振的影響；最后研究了電磁刺激參數對通道噪聲誘導的反隨機共振的影響。
1 方法和模型
1.1 網絡節點方程
本文以Hodgkin-Huxley神經元[26]作為神經網絡的節點動力學模型，網絡方程表示如下：
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其中，Cm是膜電容；Vi表示網絡中第 i 個神經元的膜電位；Iext表示外加電流。m 和 h 分別為鈉通道的激活和失活變量，n 為鉀通道的激活變量。VNa = 50 mV、VK = –77 mV和VL = –54.4 mV分別表示鈉通道、鉀通道和漏通道的反轉電位；GNa = 120 mS/cm2、GK = 36 mS/cm2、GL = 0.3 mS/cm2分別表示相應離子電流的最大電導。α 和 β 表示門控變量函數。基于Fox提出的通道噪聲模型，添加 為通道噪聲[27]：
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其中， 和 分別表示指定膜面積上的鈉離子和鉀離子的離子總數，NNa = ρNaS，NK = ρKS，ρNa和ρK分別表示單位膜面積上的離子密度[28-29]。S為膜面積（單位為μm2），膜面積決定通道噪聲水平，膜面積越大表示通道噪聲強度越小。η(t)表示非高斯Levy噪聲。
Levy噪聲由如下方程表示：
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其中，α為特征指數，β為偏斜度參數，c為分散系數，μ為位置參數。本文中除特殊說明外，Levy噪聲參數設置為：α = 1.8，β = 0，c = 1，μ = 0。
根據Nernst-Planck方程，無磁場作用時，離子通道電流由以下方程求解：
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其中，JNa是單位膜面積上的鈉離子電流密度，CNa是鈉離子濃度，?CNa是相應的濃度梯度向量。E是膜內外電勢差所造成的電場強度，Rg是空氣常數，μNa表示鈉離子遷移率，T為溫度，F是法拉利常數。另外，對于鉀離子和氯離子濃度，CK、CL、?CK和?CL分別表示鉀離子和氯離子相應的濃度梯度向量。
存在外加磁場的情況下，式(13)右邊第一項保持不變，第二項發生改變
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其中Bext = Bsin(2πft)為外加磁場，B為磁場強度，f為磁場頻率。
又有離子電流密度和離子移動速度之間的關系為：
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其中，z是離子所帶電子數目。故將式(14)和式(15)代入式(13)可得磁場作用下的離子電流密度：
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因此，電磁作用下的離子通道電流密度相當于在原離子電流密度INa上添加變化項INa = μNa JNa Bext。同理，可以求出其他離子電流密度的變化量：IK = μK JK Bext和IL = μL JL Bext。各離子遷移率 μ 的取值參考文獻[30-33]：μNa = 3 m2/(V·s)，μK = 3.8 m2/(V·s)，μL = 1 m2/(V·s)。
故，電磁作用下帶有離子通道噪聲的神經網絡方程為：
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1.2 網絡模型
本文基于NW小世界網絡理論[34-35]，構建N = 200的神經網絡，每個神經元的最近鄰節點個數k，左右兩邊各 k/2 個節點，隨機化加邊概率P。本文中除特別說明，小世界網絡參數設置為：k = 2，P = 0.01。
表示神經網絡中第 i 個節點神經元受到的突觸電流：
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其中gsyn表示神經元之間電突觸耦合強度，(aij)N × N表示電突觸連接矩陣。
1.3 分析指標
本文利用神經網絡的平均放電速率來評價神經網絡的反隨機共振行為，在去除暫態時間（1 s）之后的長度為τ = 500 ms的時間間隔內計算神經網絡的平均放電速率r（單位為Hz）：
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為了量化神經網絡內部耦合作用對神經元輸出的影響，本文計算了神經網絡中所有神經元突觸輸入和神經元輸出之間的互信息平均值：
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其中H(Sout)是輸出的熵，H(Sout|Sin)是給定輸入條件下輸出的條件熵。
2 結果與分析
不同外加電流刺激下神經網絡的平均放電速率如圖1所示，外加電流很小時，不能引起神經網絡反隨機共振的發生；外加電流較大時，神經網絡的反隨機共振現象并不明顯；外加電流合適時，神經網絡中發生了明顯的反隨機共振現象。Iext = 6.8 μA/cm2時，膜面積S = 100～1 000 μm2，神經網絡的平均放電速率接近于零，表明神經網絡在中等噪聲強度下放電活動受到嚴重抑制，神經網絡平均放電速率隨著膜面積的增大先減小后增大，表明發生了反隨機共振現象。因此我們將神經元的外加電流設置為6.8 μA/cm2，以保證神經網絡處于雙穩態。
圖1
不同外加電流下神經網絡的平均放電速率
Figure1.
Mean firing rate of the neuronal network under different external currents
2.1 Levy通道噪聲下神經元放電動力學特性
神經網絡中第i個節點神經元在噪聲和電流激勵下的放電活動如圖2所示：當電流較小時（見圖2a），神經元處于靜息狀態；外加電流增大（見圖2b），神經元放電頻率增大，尖峰態與靜息態并存；當外加電流足夠大時（見圖2c），神經元電活動轉變為尖峰放電。因此，選取I = 6.8 μA/cm2作為外加電流，當離子通道膜面積發生變化時，神經元放電頻率先變小后變大，出現反隨機共振現象。如圖2d-f所示：當膜面積較小（S = 1 μm2，噪聲強度較大）時，神經元放電頻率較高；當膜面積中等（S = 100 μm2，噪聲強度適中）時，神經元放電頻率減小；當膜面積較大（S = 10 000 μm2，噪聲強度較小）時，神經元又恢復到高頻率放電狀態。圖2的結果表明，在合適的電流激勵下，神經元在非高斯Levy通道噪聲的作用下出現了反隨機共振現象。適當強度的非高斯Levy通道噪聲可以抑制節點神經元的放電行為，降低節點神經元的興奮性。
圖2
神經網絡中第i個節點神經元在通道噪聲和外加電流下的放電行為
a.
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不同膜面積下神經網絡整體放電時空圖如圖3所示。由圖3可知，S = 1 μm2時，通道噪聲較大，神經網絡放電規則，放電頻率較高；S = 100 μm2時，通道噪聲強度適中，神經網絡放電頻率明顯變低；S = 10 000 μm2時，通道噪聲強度較小，此時神經網絡放電頻率較高。這些結果表明：隨著噪聲強度的增大，神經網絡的放電由密集變稀疏，再由稀疏變密集，即神經網絡出現反隨機共振現象。在合適強度的非高斯Levy通道噪聲作用下，神經網絡的放電活動受到抑制，神經網絡整體的興奮性降低。
圖3
不同膜面積下神經網絡放電時空圖
2.2 Levy噪聲參數對反隨機共振的影響
Levy噪聲參數對小世界神經網絡反隨機共振的影響如圖4所示。噪聲特征指數α越大，神經網絡反隨機共振越明顯；隨著噪聲的位置參數μ的變大，反隨機共振會逐漸消失；而偏斜度參數β的變化對神經網絡反隨機共振的影響并不明顯。
圖4
不同噪聲參數下神經網絡平均放電速率
a. 特征指數；b. 位置參數；c. 偏斜度參數
Figure4. Mean firing rate of neuronal network with different values of Levy noise parametersa. characteristic index; b. position parameter; c. skewness parameter
2.3 網絡結構和耦合強度對反隨機共振的影響
圖5為不同最近鄰節點個數下神經網絡平均放電速率和耦合強度之間的關系（S = 100 μm2），當曲線凸起寬度越寬、高度越高，說明對反隨機共振的抑制作用越明顯。由圖5可以看出，k越大神經網絡平均放電速率隨耦合強度增大的變化越不明顯。結果表明k越大越有利于小世界神經網絡反隨機共振，耦合強度對神經網絡反隨機共振的調節具有明顯影響。當k足夠大時，耦合強度對神經電活動的影響幾乎可以忽略不計，而其他情況下，耦合強度在調節神經網絡電活動中起到了關鍵作用。較大或較小的神經元連接強度都可以使神經網絡保持在相對穩定的放電狀態，只有當神經網絡連接強度適中時，神經網絡反隨機共振現象會變弱。
圖5
不同最近鄰節點個數的神經網絡平均放電速率
Figure5.
Mean firing rate of neuronal network with different nearest neighbors
不同加邊概率的神經網絡平均放電速率隨耦合強度的變化曲線如圖6所示。圖6的結果表明：在合適的通道噪聲強度下（S = 100 μm2），隨機加邊概率越大，曲線凸起寬度越小，高度越小，神經網絡放電活動受到的抑制作用越大。隨機加邊概率越大越有利于神經網絡的反隨機共振行為，突觸連接對神經網絡反隨機共振的調節具有最佳耦合強度。當隨機加邊概率足夠大時，耦合強度對神經電活動的影響幾乎可以忽略不計。隨機加邊概率越小，神經網絡放電速率隨噪聲強度變化的U形曲線越不明顯，表明神經網絡反隨機共振受到抑制，此時，較大或較小的神經元連接強度都可以使神經網絡保持在相對穩定的放電狀態，只有當神經網絡連接強度適中時，神經網絡反隨機共振現象會變弱。
圖6
不同隨機加邊概率下神經網絡平均放電速率
Figure6.
Mean firing rate of neuronal network with different network randomness
2.4 電磁刺激參數對反隨機共振的影響
電磁刺激參數對Levy通道噪聲誘導的神經網絡反隨機共振的影響如圖7所示。神經網絡在不同強度的電磁刺激下，平均放電速率表現出不同的變化：當電磁刺激強度較小時（見圖7a），神經網絡的平均放電速率隨著膜面積的增大先變小后變大，呈現出明顯的藍色極小值帶，表明神經網絡發生反隨機共振，并且隨著電磁刺激頻率的變大，隨機反共振的持續時間和強度變化不大；隨著電磁刺激強度的增加（見圖7b），藍色極小值帶明顯比圖7a中的極小值帶增寬，表明電磁刺激強度的增大可以使反隨機共振持續時間變長，并且隨著電磁刺激頻率的變大，反隨機共振的持續時間變寬；當電磁刺激強度繼續增大時（見圖7c），神經網絡的平均放電速率隨著膜面積的變大而減小，神經網絡不再出現反隨機共振。這些結果表明，電磁刺激的強度對神經網絡反隨機共振的調節起到決定性作用，強度決定了反隨機共振現象是否出現，頻率則調節反隨機共振的強弱。
圖7
不同電磁刺激強度下，神經網絡平均放電速率隨膜面積和電磁刺激頻率變化的等高線
a.
a.
3 討論與結論
神經調控技術是神經科學與生物醫學工程交叉結合的產物，對復雜的人類大腦系統具有顯著的調控作用，有望幫助人類治療神經退行性疾病。基于復雜網絡和計算神經科學產生的復雜神經網絡，是理論研究神經調控技術的重要方法[36]，旨在幫助人們解釋生物現象發生的原因和神經調控的作用機制。
本文以HH神經元動力學模型和小世界復雜網絡理論為基礎，構建了電磁刺激和通道噪聲作用下的小世界神經網絡，通過對神經網絡動力學特征進行分析，探討了電磁刺激和通道噪聲對反隨機共振行為的影響。Levy通道噪聲能誘導小世界神經網絡出現反隨機共振現象，結合之前的研究，我們可以得知反隨機共振是神經系統中一個普遍存在的現象，它既可以發生在無標度網絡中，也可以發生在小世界網絡中，既可以由外加噪聲誘導，也可以由通道噪聲誘導[17-20]。相較于之前的研究[37-40]，將Levy噪聲作為通道噪聲添加到神經網絡模型中，能夠更加全面地研究生物系統噪聲對神經網絡反隨機共振的影響。本文的結果表明，Levy噪聲特征指數越大，小世界神經網絡的隨機共振現象越明顯；位置參數越小，越有利于反隨機共振；而偏斜度參數對神經網絡反隨機共振無明顯影響。這些結論與之前的研究結果基本一致[19]，說明Levy噪聲作為通道噪聲同樣具有調節神經電活動的作用，且調節作用與噪聲自身的參數密切相關。同時我們還研究了小世界網絡結構特性對反隨機共振的影響，結果表明隨機加邊概率越大，最近鄰節點個數越大，越有利于神經網絡反隨機共振。目前，關于反隨機共振的研究大部分集中在網絡參數和電磁感應參數上[41-42]，本文最后分析了外加電磁刺激對神經網絡反隨機共振的影響，表明電磁刺激可以增強或者抑制神經網絡反隨機共振行為。鑒于反隨機共振現象普遍存在，如何利用反隨機共振現象達到趨利避害的目的值得我們進行深入研究。本研究拓寬了以往對神經網絡反隨機共振的研究范圍，豐富了神經動力科學中共振現象的理論研究，可為電磁神經調控技術的應用提供理論指導。
重要聲明
利益沖突聲明：本文全體作者均聲明不存在利益沖突。
作者貢獻聲明：楊惠蘭負責設計實驗、實施研究、分析數據和撰寫論文；田樹香負責部分研究以及分析數據；徐桂芝和朱海軍負責論文指導與修改。
